基礎数学例

$({(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}) = \frac{125}{27}$

ステップ 1

${(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.1

積の法則を $\frac{3}{5}$ に当てはめます。

$\frac{3^{z}}{5^{z}} {(\frac{5}{3})}^{2 z} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.1.2

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$\frac{3^{z}}{5^{z}} \cdot \frac{5^{2 z}}{3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.2

まとめる。

$\frac{3^{z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.3

$3^{z}$ と $3^{2 z}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$3^{2 z}$ を $3^{z} \cdot 5^{2 z}$ で因数分解します。

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$3^{2 z}$ を $5^{z} \cdot 3^{2 z}$ で因数分解します。

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.4

$5^{2 z}$ と $5^{z}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$5^{z}$ を $3^{- z} \cdot 5^{2 z}$ で因数分解します。

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{z}}{1} = \frac{125}{27}$

ステップ 1.4.2.4

$3^{- z} \cdot 5^{z}$ を $1$ で割ります。

$3^{- z} \cdot 5^{z} = \frac{125}{27}$

ステップ 2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{- z} \cdot 5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 3

左辺を展開します。

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ステップ 3.1

$\ln (3^{- z} \cdot 5^{z})$ を $\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z})$ に書き換えます。

$\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 3.2

$- z$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{- z})$ を展開します。

$- z \ln (3) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 3.3

$z$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{z})$ を展開します。

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- z \ln (3) + z \ln (5) - \ln (\frac{125}{27}) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺に $\ln (\frac{125}{27})$ を足します。

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 6

$z$ を $- z \ln (3) + z \ln (5)$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$z$ を $- z \ln (3)$ で因数分解します。

$z (- 1 \ln (3)) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 6.2

$z$ を $z \ln (5)$ で因数分解します。

$z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 6.3

$z$ を $z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5))$ で因数分解します。

$z (- 1 \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 7

$- 1 \ln (3)$ を $- \ln (3)$ に書き換えます。

$z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

ステップ 8

$z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ の各項を $- \ln (3) + \ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ の各項を $- \ln (3) + \ln (5)$ で割ります。

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- \ln (3) + \ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

ステップ 8.2.1.2

$z$ を $1$ で割ります。

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$- 1$ を $- \ln (3)$ で因数分解します。

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

ステップ 8.3.2

$- 1$ を $\ln (5)$ で因数分解します。

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) - 1 (- \ln (5))}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ を $- \ln (3) - 1 (- \ln (5))$ で因数分解します。

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- (\ln (3) - \ln (5))}$

ステップ 8.3.4

負の数を書き換えます。

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ステップ 8.3.4.1

$- (\ln (3) - \ln (5))$ を $- 1 (\ln (3) - \ln (5))$ に書き換えます。

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- 1 (\ln (3) - \ln (5))}$

ステップ 8.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

10進法形式：

$z = 3$

基礎数学 例

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